内容概述
19 世纪数学家奥古斯塔斯·德摩根（Augustus De Morgan）被人问及出生年份时，巧妙地答道："在 x² 那年我 x 岁。"把这句话翻译成方程，就是 x² − x 等于他的出生年。这是一个典型的丢番图式问题——把一个看似谜语的条件化为关于整数 x 的方程，留给读者去解出德摩根的生年。
中文正文
86° 一个丢番图式的问题
数学家德摩根生活在 19 世纪，有人问他哪年出生的，他回答："在 x² 那年我 x 岁。"那他生在哪年呢？*42
英文正文
86° A diophantine riddle. The mathematician Augustus De Morgan, who lived in the nineteenth century, when asked the year of his birth, countered with: "I was x years old in the year x²." When was he born?
相关题目
- 题目：在 x² 那年我 x 岁——把这句话翻译成方程：x² − x = 出生年。
- 提示：把"在 x² 年我 x 岁"理解为"出生年 = x² − x"；x 应为整数，且出生年应在 19 世纪。
- 解答或证明：原书把解出德摩根生年留给读者，这里仅给出方程形式 x² − x = 出生年，不给出完整求解。
我们可以从故事中思考什么
- "在 x² 那年我 x 岁"应该怎样准确地翻译成方程？
- 为什么这是一个"丢番图式"的问题？"丢番图式"有什么典型特征？
- 仅凭一句谜面，能不能唯一地确定德摩根的生年？
核心知识点讲解：丢番图问题
选择理由
故事直接以"丢番图式的问题"命名，整段内容就是把一句谜语条件化为关于整数 x 的方程，丢番图问题是贯穿始终的核心概念。
概念介绍
"丢番图问题"（Diophantine problem）泛指要求在整数（或自然数、有理数）范围内求解的代数方程或方程组，其名来自古希腊数学家丢番图（Diophantus），他在《算术》中系统讨论了多种整数系数方程的整数解。
具体内容
- 丢番图问题的解必须是整数（或某种限定的离散数域），不像普通代数方程允许任意实数解。
- 典型例子：勾股数的整数解、费马大定理 xⁿ + yⁿ = zⁿ（n ≥ 3）的非平凡整数解。
- 本故事的方程 x² − x = 出生年，需要找到使 x² 落在 19 世纪的整数 x。
应用场景
丢番图问题在数论、密码学（RSA 与大整数分解）、丢番图逼近与代数几何中都有重要应用；许多"找出符合某条件的数"的数学竞赛题也属于这一类。
与生活的联系
生活中许多"凑数"问题——例如凑齐某个金额、安排若干人正好坐满若干张桌子——本质上都是在整数范围内求解，是丢番图思想的日常体现。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 翻译题意：把"在 x² 那年我 x 岁"翻译成方程 x² − x = 出生年。
- 数域限制：在整数范围内求解，并利用"19 世纪"这一历史背景筛选合理的 x。
延伸讨论
- 把谜面中的 x² 换成 x³ 或更高次幂后，问题会变成什么样？整数解是否存在？
- 若把"19 世纪"换成"18 世纪"或"20 世纪"，方程 x² − x = 出生年还有解吗？
- "丢番图问题"这一名称与古希腊数学家丢番图本人有什么历史关系？