数学故事样稿
← 返回故事列表

mc1-054 · MATHEMATICS EXTENSION

盈数、亏数和完全数Deficient, perfect, and abundant numbers

数学学习拓展 约 12 分钟阅读 中文English

内容概述

  • 数学故事
  • 数论 / 数学史
  • 说明 / 叙事

一个数若等于其真因子之和称为完全数，大于真因子之和称为亏数，小于真因子之和称为盈数。故事从 6 与 8 的宗教寓言出发，介绍欧几里得公式、欧拉关于偶完全数的定理、计算机时代的发现，以及奇完全数猜想、奇盈数等数论话题。

中文正文

54° 盈数、亏数和完全数

还有些数也与命运有着神秘而根本的联系，它们有时也被归功于毕达哥拉斯，那就是所谓的完全数、亏数和盈数。一个数，假如等于其真因子之和，它就是完全的；假如大于其真因子之和，它就是亏的；假如小于其真因子之和，它就是盈的。因此，上帝用六天时间来创造世界，因为 6 是完全数，6 = 1 + 2 + 3。另一方面，正如阿尔昆（Alcuin，735~804）说的，所有的人都来自诺亚方舟的 8 个灵魂，这第二次创生不够完美，因为 8 大于 1 + 2 + 4，是亏的。这就解释了为什么我们今天的世界存在那么多的疾病。

1952 年时，我们才知道 12 个完全数，都是偶数，前 3 个是 6，28 和 496。欧几里得《原本》（约公元前 300 年）第 9 卷最后一个命题证明，假如 2ⁿ − 1 是素数，那么 2ⁿ⁻¹（2ⁿ − 1）是完全数。欧几里得公式给的完全数是偶数，而欧拉证明所有偶完全数一定具有这样的形式。是否存在奇完全数，依然是数论中著名的未解难题。假如有的话，那种数肯定不会少于 20 位。¹

1952 年，在 SWAC 数字计算机的帮助下，发现了另外 5 个欧几里得形式的完全数，对应于 n = 521，607，1279，2203 和 2281。1957 年，瑞典 BESK 计算机发现了 n = 3217；1961 年，IBM7090 发现了 n = 4253 和 4423。再没有别的 n < 5000 的完全数了。

n = 9689，9941 和 11213 也得出完全数，将已知的完全数扩充到 23 个。n = 11213 的完全数是 1963 年在伊利诺斯大学发现的。这是一个 6751 位的大数，有 22 425 个因子。伊利诺斯大学数学系为发现这个当时最大的完全数而感到骄傲，甚至在他们的信封盖上长方形邮戳：“2¹¹²¹³ − 1 是素数。”

更大的完全数一个接着一个被发现，证明巴娄（Peter Barlow）当年的话是多么荒谬。他在 1811 年的《数论》中，就第九个完全数（相应于 n = 61）说：“这是可能发现的最大的完全数了，因为，它们除了好奇没有别的作用，恐怕不会再有人想去找比它更大的了。”

从 10 到 100 间，只有 21 个盈数，都是偶数。但并非所有盈数都是偶数，实际上，很容易证明 945 = 3³ · 5 · 7 是盈数，这是第一个、也是 1000 以内的惟一一个奇盈数。

¹ 2005 年 2 月 18 日，德国的眼科医生 Martin Nowak 发现了目前最大的素数：2³⁰⁴⁰²⁴⁵⁷ − 1，有 7 816 230 位，它当然对应着一个“天大的”完全数。

英文正文

54° Deficient, perfect, and abundant numbers. Other numbers having mystical connections essential to numerological speculations, and sometimes ascribed to the Pythagoreans, are the perfect, deficient, and abundant numbers. A number is perfect if it is the sum of its proper divisors, deficient if it exceeds the sum of its proper divisors, and abundant if it is less than the sum of its proper divisors. So God created the world in six days, a perfect number, since 6 = 1 + 2 + 3. On the other hand, as Alcuin (735–804) observed, the whole human race descended from the eight souls of Noah's ark, and this second creation was imperfect, for 8, being greater than 1 + 2 + 4, is deficient. And thus we account for the many ills of our present world.

Until 1952 there were only twelve known perfect numbers, all of them even numbers, of which the first three are 6, 28, and 496. The last proposition of the ninth book of Euclid's Elements (ca. 300 B.C.) proves that if 2ⁿ − 1 is a prime number, then 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) is a perfect number. The perfect numbers given by Euclid's formula are even numbers, and Euler has shown that every even perfect number must be of this form. The existence or nonexistence of odd perfect numbers is one of the celebrated unsolved problems in number theory. There certainly is no number of this type having less than thirty-six digits.

In 1952, with the aid of the SWAC digital computer, five more perfect numbers were discovered, corresponding to n = 521, 607, 1279, 2203, and 2281 in Euclid's formula. In 1957 the Swedish machine BESK found another, corresponding to n = 3217, and in 1961 an IBM 7090 found two more, for n = 4253 and 4423. There are no other perfect numbers for n < 5000.

The values n = 9689, 9941, 11213, 19937 also yield perfect numbers, bringing the list of known perfect numbers to 24. The perfect number corresponding to n = 11,213 was found in 1963 at the University of Illinois. This very large number consists of 6751 digits and has 22,425 divisors. The University of Illinois mathematics department has been so proud of the discovery of this large perfect number that its postage meter has been stamping on envelopes a rectangle bearing the statement, "2¹¹²¹³ − 1 is prime."

The pursuit of larger and larger perfect numbers shows how wrong was Peter Barlow who, in his Theory of Numbers of 1811, wrote about the ninth perfect number (corresponding to n = 61): "It is the greatest that will be discovered, for, as they are merely curious without being useful, it is not likely that any person will attempt to find one beyond it."

There are only twenty-one abundant numbers between 10 and 100, and these are all even. That all abundant numbers are not even follows from the easily established fact that 945 = 3³ · 5 · 7 is abundant. This is the first odd abundant number, and the only odd abundant number not exceeding 1000.

相关题目

  • 题目：无
  • 提示：无
  • 解答或证明：无

（原书未给出任何题目、提示或证明。）

我们可以从故事中思考什么

  • 完全数、亏数、盈数的定义有什么区别？
  • 为什么 6 是完全数，而 8 是亏数？
  • 欧几里得公式如何生成完全数？欧拉又补充了什么结论？
  • 奇完全数是否存在仍是未解问题，你知道哪些类似的数学未解之谜？
  • 945 为什么是奇盈数？

核心知识点讲解：完全数

选择理由

故事标题为“盈数、亏数和完全数”，但完全数占据了最大篇幅：从定义、宗教寓言、欧几里得公式、欧拉定理、计算机发现一直到奇完全数猜想。因此“完全数”是全文最核心的知识点。

概念介绍

完全数（perfect number）是指等于其真因子之和的正整数。例如 6 的真因子为 1、2、3，且 1 + 2 + 3 = 6，所以 6 是完全数。亏数（deficient number）大于其真因子之和，盈数（abundant number）小于其真因子之和。

具体内容

  1. 定义：

- 完全数：n = σ(n) − n； - 亏数：n > σ(n) − n； - 盈数：n < σ(n) − n。 （σ(n) 表示 n 的所有正因子之和。）

  1. 例子：

- 6 = 1 + 2 + 3（完全数）； - 8 > 1 + 2 + 4（亏数）； - 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6（盈数）。

  1. 欧几里得公式：若 2ⁿ − 1 是素数，则 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 是完全数。
  2. 欧拉定理：每个偶完全数都具有上述形式。
  3. 奇完全数猜想：是否存在奇完全数至今未知；若存在，则至少有 36 位（中文译本说“20 位”，英文原文为 thirty-six digits，应以英文原文为准）。
  4. 奇盈数：945 = 3³ · 5 · 7 是最小的奇盈数，也是 1000 以内唯一的奇盈数。

应用场景

  • 初等数论：训练因数分解、求和与分类；
  • 计算机科学：利用计算机搜索大素数和完全数；
  • 数学史：展示从古希腊到现代计算机的数学探索历程。

与生活的联系

“完美”一词常带有主观文化含义，而完全数给出了一个客观的数学定义。这种从日常语言到数学术语的转换，体现了数学如何精确化我们的直觉。

相关人物

  • 毕达哥拉斯（Pythagoras）：古希腊数学家、哲学家。完全数、亏数、盈数的观念有时被归于毕达哥拉斯学派。
  • 阿尔昆（Alcuin，735–804）：英国学者、神学家，故事中引用他关于诺亚方舟 8 个灵魂的观察。
  • 欧几里得（Euclid）：古希腊数学家，《几何原本》作者。其第九卷最后一个命题给出了生成偶完全数的公式。
  • 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707–1783）：瑞士数学家，证明了每个偶完全数必具有欧几里得形式。
  • 彼得·巴娄（Peter Barlow）：英国数学家，1811 年在《数论》中错误预言第九个完全数将是最大的完全数。

主要思想方法与延伸讨论

主要思想方法

  • 分类法：按真因子和与自身的大小关系将数分为三类。
  • 公式推导：从欧几里得公式到欧拉定理，形成充要条件。
  • 计算与验证：借助计算机发现大完全数。

延伸讨论

  • 验证 10 到 100 之间的盈数是否都是偶数。
  • 为什么 2ⁿ − 1 必须是素数才能生成完全数？
  • 寻找奇完全数为什么这么困难？
  • 计算机在数论发现中扮演了什么角色？