内容概述
两个整数如果各等于对方真因子之和，就称为亲和数。毕达哥拉斯发现的 220 与 284 是最著名的一对，古人甚至相信刻有这对数的护身符能维系完美友情。此后两千多年未发现新对，直到费马、笛卡儿、欧拉等人陆续扩展列表；帕格尼尼发现了被忽略的 1184 与 1210。故事还介绍了“亲和链”以及尚未发现的 3 个数的亲和链——“众”。
中文正文
53° 亲和数
前面说过（故事 40），两个整数，如果每一个数都是另一个数的真因子之和，就是所谓的亲和数。例如，毕达哥拉斯发现的 220 和 284 就构成一对亲和数。这对特殊的数字还带着神秘的色彩。很多人相信，刻着这两个数字的护身符能让佩带它的人们永葆完美的友情。假如其中一个人受到了伤害，即使被针扎了一下，远在地球另一边的伙伴也能感觉。在魔法、巫术、占星和算命等活动中，这些数字扮演着重要的角色。
奇怪的是，以后再没发现新的亲和数。直到 1636 年，伟大的法国数论专家费马（Pierre Fermat）才宣布 17 296 与 18 416 结成另一对亲和数。两年后，法国数学家、哲学家笛卡儿（Descartes）发现了第三对。1747 年，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler）系统研究了亲和数，推出了 30 对，然后又扩充到 60 多对。¹
寻找亲和数的历史上，还有一件奇怪的事情。1866 年，一个意大利少年帕格尼尼（Nicolo Paganini）发现了被忽略的相对较小的一对亲和数，1184 与 1210。今天，我们已经知道 900 多对亲和数。这些数对都有相同的奇偶性，就是说，同一对里的两个数要么同为奇数，要么同为偶数。所有奇数都是 3 的倍数，而所有偶数对的数字总和都是 9 的倍数。
三个或更多数的序列将形成一个“亲和链”，假如其相邻的两个数都构成亲和数对。我们只知道两个亲和链。1918 年，法国人普雷特（P. Proulet）发现了一条 5 个数的链：
12 496，14 288，15 472，14 536，14 264
还有 28 个数的链，起头一个数是 14 316。只有 3 个数的亲和链叫“众”，还没发现呢。
¹ 2005 年 3 月，人们发现了一对 24 073 位的亲和数。
英文正文
53° Amicable numbers. Two whole numbers, it will be recalled from Item 40°, are amicable if each is the sum of the proper divisors of the other. For example, 284 and 220, which constitute a pair that has been ascribed to Pythagoras, are amicable. This particular pair of numbers attained a mystical aura, and superstition maintained that two talismans bearing these numbers would seal perfect friendship between the wearers; should one of the wearers, though separated from the other by half the circumference of the earth, receive even so small an injury as a pin prick, the other would be aware of it. The numbers came to play an important role in magic, sorcery, astrology, and the casting of horoscopes.
Curiously enough, it seems that no new pair of amicable numbers was discovered until the great French number theorist Pierre de Fermat in 1636 announced 17,296 and 18,416 as another pair. Two years later the French mathematician and philosopher René Descartes gave a third pair. The Swiss mathematician Leonard Euler undertook a systematic search for amicable numbers and, in 1747, gave a list of thirty pairs, which he later extended to more than sixty.
A second curiosity in the history of these numbers was the late discovery, by the sixteen-year-old Italian boy Nicolo Paganini in 1866, of the overlooked and relatively small pair of amicable numbers, 1184 and 1210. Today more than nine hundred pairs of amicable numbers are known. These pairs are all of the same parity; that is, the two numbers of a pair are either both odd or both even. All the odd ones are multiples of 3; all the even pairs have the sum of their digits a multiple of 9.
A cyclic sequence of three or more numbers such that the sum of the proper divisors of each is equal to the next in the sequence is known as a sociable chain of numbers. Only two sociable chains are known. In 1918 the Frenchman P. Poulet found one of five "links":
12,496 14,288 15,472 14,536 14,264
There is a twenty-eight-link chain starting with 14,316. A sociable chain of exactly three links has been called a crowd; no crowds have yet been found.
相关题目
- 题目：无
- 提示：无
- 解答或证明：无
（原书未给出任何题目、提示或证明。）
我们可以从故事中思考什么
- 什么是亲和数？请用 220 和 284 验证。
- 为什么古人相信亲和数能维系完美友情？
- 寻找亲和数的历史中有哪些意外发现？
- 什么是亲和链？为什么“众”（3 个数的亲和链）至今未被发现？
核心知识点讲解：亲和数
选择理由
故事标题即为“亲和数”，全文围绕其定义、例子、历史发现与推广（亲和链）展开，因此“亲和数”是当之无愧的核心知识点。
概念介绍
两个正整数如果互为对方真因子之和，就称为一对亲和数（amicable numbers）。例如 220 的真因子为 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，其和为 284；而 284 的真因子为 1, 2, 4, 71, 142，其和为 220。因此 220 与 284 是一对亲和数。
具体内容
- 定义：若 σ(a) − a = b 且 σ(b) − b = a（其中 σ(n) 为 n 的所有正因子之和），则 a 与 b 为亲和数。
- 历史：
- 毕达哥拉斯：220 与 284； - 1636 年费马：17 296 与 18 416； - 1638 年笛卡儿：第三对； - 1747 年欧拉：系统列出 30 对，后扩展到 60 多对； - 1866 年帕格尼尼：1184 与 1210。
- 性质：已知亲和数对奇偶性相同；奇数对都是 3 的倍数；偶数对的数字和是 9 的倍数。
- 推广：亲和链（sociable chain）——循环序列中每个数的真因子和等于下一个数。已知有 5 个数的链和 28 个数的链，但 3 个数的链（crowd）尚未发现。
应用场景
- 初等数论教学：训练因数分解与求和；
- 数学史研究：展示数学问题如何跨越两千年仍吸引数学家；
- 编程练习：编写程序搜索亲和数对。
与生活的联系
“亲和”这一比喻把数学关系与人类情感联系起来。虽然护身符的传说没有科学依据，但它说明古人试图用数学规律解释人际关系，也启发我们寻找数学中的对称与互惠结构。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 因数分解与求和：通过计算真因子验证亲和关系。
- 归纳与发现：从特例到系统搜索，再到猜想性质。
- 数学史视角：关注一个概念如何跨越时代被重新发现。
延伸讨论
- 尝试计算 1184 与 1210 的真因子，验证它们是否亲和。
- 为什么寻找亲和数比寻找完全数更困难？
- 至今未发现 3 个数的亲和链，你认为可能的原因是什么？