内容概述
毕达哥拉斯把朋友定义为“另一个我”，由此引出“亲和数”的概念。故事以 220 与 284 为例：220 的所有真因子之和为 284，而 284 的所有真因子之和为 220，二者彼此生成对方，正如亲密无间的朋友。
中文正文
40° 友谊
朋友是什么？毕达哥拉斯回答：“另一个我。”从此引出数的亲和性。能拿什么来描写比亲和数对 220 和 284 更亲密的关系吗？220 的真因子为 1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，它们的和为 284；而 284 的真因子为 1，2，4，71，142，它们的和为 220。这两个数，一个能生成另一个；当然不会有比这更亲密的东西了。
16 正整数 N 的真因子指的是除 N 之外的所有 N 的正整数因子。注意 1 也是 N 的真因子。真因子还有一个多少有点儿陈旧的同义词：整除部分。（原注）
英文正文
40° Friendship. Asked what a friend is, Pythagoras replied, "Another I." From this developed the amicability of numbers. What could depict a closer friendship than the amicable number pair 220 and 284? The proper divisors of 220 are 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, and the sum of these is 284; the proper divisors of 284 are 1, 2, 4, 71, 142, and the sum of these is 220. Each of the two numbers 220 and 284 generates the other; surely nothing can be more intimate than this.
The proper divisors of a positive integer N are all the positive integral divisors of N except N itself. Note that 1 is a proper divisor of N. A somewhat antiquated synonym for proper divisor is aliquot part. （英文版原注，位于印刷第 29 页）
相关题目
- 题目：无
- 提示：无
- 解答或证明：无
（原书未给出任何题目、提示或证明。）
我们可以从故事中思考什么
- 为什么说 220 与 284 是“亲和数”？
- “朋友是另一个我”与“亲和数”有什么共同之处？
- 你还能找到其他亲和数对吗？
核心知识点讲解：亲和数
选择理由
故事把“友谊”与“数的亲和性”直接联系起来，并以 220 与 284 为核心例子，因此“亲和数”是本篇无可争议的数学主题。
概念介绍
亲和数（amicable numbers）是一对正整数，其中每个数的真因子之和恰好等于另一个数。若记 σ(n)−n 为 n 的真因子之和，则 a 与 b 亲和当且仅当 σ(a)−a = b 且 σ(b)−b = a。
具体内容
- 真因子定义：正整数 N 的所有正整数因子中除去 N 本身，1 也算真因子。
- 验证 220 与 284：
- 220 的真因子：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110；和 = 284。 - 284 的真因子：1, 2, 4, 71, 142；和 = 220。
- 历史：毕达哥拉斯可能最早知道这对亲和数；后来费马、笛卡儿、欧拉等又发现了更多对。
- 小性质：已知亲和数对要么同为奇数，要么同为偶数。
应用场景
- 数论研究：因数结构、特殊数列；
- 密码学与编码：某些特殊数对用于构造；
- 数学史：体现古代数学家对“数”的神秘化与浪漫化。
与生活的联系
“你中有我，我中有你”是形容亲密关系的中文表达，亲和数则用数学方式表达同样的关系——两个数通过各自的因子彼此生成。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 类比：把人际关系映射到数论关系
- 因数分解与求和
- 特殊数对的构造与验证
延伸讨论
- 如何验证 1184 与 1210 是否也是亲和数？
- 亲和数与完全数、盈数、亏数有什么关系？
- 为什么古人会把特殊数字赋予情感或友谊的意义？