内容概述
本篇讲述古代印度数学文献《巴克沙里手稿》（Bakhshali manuscript）中所使用的“试位法”（rule of false position，亦称 regula falsi）。手稿于 1881 年在今巴基斯坦西北边境省巴克沙里村附近出土，书写于桦树皮之上，年代约在公元初几个世纪。故事通过一道“四人依次成倍数捐赠、总额 132”的例题，完整演示了试位法的操作：先假设一个方便的数值，按比例算出各部分之和，再与实际总和比较，由比值还原出真实答案。
中文正文
99° 巴克沙里手稿的试位法
巴克沙里手稿是一部古老的印度数学著作，据信是在公元初的几个世纪里书写在桦树皮上的。它于 1881 年出土，地点离巴克沙里村不远，即今巴基斯坦的西北边境省一带。这部手稿显示出对算术、代数以及所谓“试位法”的惊人造诣。
下面是从手稿中引出的一道例题。
某人作了一次捐赠。第二个人捐的是第一个人的两倍，第三个人捐的是第二个人的三倍，第四个人捐的是第三个人的四倍。他们四人一共捐了 132。问每人各捐了多少？
按照试位法，先假设一个方便的数值。设第一个人捐了 1。那么第二个人捐了 2，第三个人捐了 3 × 2 = 6，第四个人捐了 4 × 6 = 24。这些数额加起来是 1 + 2 + 6 + 24 = 33。但实际的总额应当是 132；而 132 ÷ 33 = 4。于是第一个人捐了 1 × 4 = 4，第二个人捐了 2 × 4 = 8，第三个人捐了 6 × 4 = 24，第四个人捐了 24 × 4 = 96。这些数额加起来正是 4 + 8 + 24 + 96 = 132。
英文正文
99° False position in the Bakhshali manuscript.
The Bakhshali manuscript, an ancient Hindu work on mathematics, is believed to have been composed on birch bark during the early centuries of our era. It was unearthed in 1881, not far from the village of Bakhshali, in what is now the North-West Frontier Province of Pakistan. The manuscript reveals a surprisingly advanced knowledge of arithmetic, algebra, and the so-called rule of false position.
The following is an example taken from the manuscript.
A certain person made a donation. The second gave twice as much as the first, the third gave three times as much as the second, and the fourth gave four times as much as the third. All together they gave 132. How much did each give?
By the rule of false position one assumes a convenient value. Let the first have given 1. Then the second gave 2, the third gave 3 × 2 = 6, and the fourth gave 4 × 6 = 24. These amount to 1 + 2 + 6 + 24 = 33. But the total should be 132; and 132 ÷ 33 = 4. Therefore the first gave 1 × 4 = 4, the second gave 2 × 4 = 8, the third gave 6 × 4 = 24, and the fourth gave 24 × 4 = 96. These amount to 4 + 8 + 24 + 96 = 132.
相关题目
题目（手稿原例）： 某人捐赠，第二人捐第一人的 2 倍，第三人捐第二人的 3 倍，第四人捐第三人的 4 倍；四人共捐 132。问各捐几何？
解答（试位法）：
- 假设第一人捐 1；
- 则第二人 2、第三人 3×2=6、第四人 4×6=24；
- 假设总和 = 1+2+6+24 = 33；
- 实际总和 132，比值 k = 132 ÷ 33 = 4；
- 真实值 = 假设值 × 4：第一人 4、第二人 8、第三人 24、第四人 96；
- 验算：4+8+24+96 = 132，符合。
我们可以从故事中思考什么
- 在没有代数符号的年代，古人如何用“先猜一个数再按比例修正”的智慧解决实际问题？试位法体现了“以退为进、借假修真”的思想。
- 试位法与今天的“单位‘1’”思想、比例与方程有何联系？它其实是线性方程齐次性的朴素表达。
- 一份写在桦树皮上的手稿，历经千年仍能被我们读懂并从中学习，数学知识的传承跨越了时间与文明。
核心知识点讲解：试位法（False Position / Regula Falsi）
选择理由
本故事的核心并不是某个深奥定理，而是一种古老、朴素却极其实用的解题策略——试位法。它最能让学生体会“数学不只有列方程一种解法”，并自然衔接比例与方程的学习。
概念介绍
试位法（regula falsi，又称 false position）是已知各部分之间成固定比例（线性关系）时，先任意假设一个“方便的”数值，算出预设总和，再与实际总和相除得到放大倍数，从而还原真实数值的方法。它适用于各项比例已知、总量已知的分配类问题。
具体内容
设第一份为 a，其余各份为 a 的固定倍数。先令 a = 1（或任意方便数），求得假设总和 S′。若真实总和为 S，则放大系数 k = S / S′，真实第一份 = 1 × k，其余各份依此乘 k 即可。本例中 S′ = 33，S = 132，k = 4。
应用场景
- 按比例分配资源、遗产、工钱；
- 已知倍数关系的逆向求原值；
- 在尚未引入未知数 x 的学段，作为方程的前置直观方法；
- 古代商业与测量中的实务计算。
与生活的联系
生活中常遇到“A 是 B 的两倍、B 是 C 的三倍”这类话。例如分糖果、分奖金、调配饮料浓度，都可以先“试一个数”再按比例调整，这正是试位法的日常版。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
“先假设、再校正”的模型化思想：当问题结构明确（比例固定）而具体数值未知时，用一个方便的数搭建模型，再用真实数据标定比例。这属于“特殊到一般、以简驭繁”的建模思路，也是数值方法中迭代法（如弦截法）的思想雏形。
延伸讨论
- 试位法只能直接处理线性（一次）比例关系；若关系非线性（如平方、乘积交叉），简单试位法会失效，这正是 later 代数与方程诞生的动因之一。
- 西方中世纪的“双假位法”（double false position）用两个假设值做线性插值，可解更一般的一次方程，是计算史上重要的算法遗产。
- 《巴克沙里手稿》还以“点”表示零、使用十进位置制，是印度数码西传链条中的关键文献，对后世阿拉伯—印度数字体系影响深远。