内容概述
埃拉托色尼用简洁而巧妙的办法测出了地球周长。他知道夏至正午时尼罗河畔的昔兰尼城阳光垂直入射，地上直立木棍没有影子，深井也能照见井底；同时刻的亚历山大城却有 1/50 圆周的太阳倾角。他还估出两城相距约 5000 个古希腊长度单位 stadia，按比例即得地球周长为 250 000 stadia，约合 25 000 英里，与今天实测的约 24 900 英里惊人接近。这一测量没用望远镜，也无需漂洋过海，是几何与三角最经典的早期应用之一。
中文正文
80° 埃拉托色尼丈量地球
关于埃拉托色尼，人们至今还喜闻乐道的也许是他丈量地球的故事。尽管埃拉托色尼的测量带着点儿运气，基本思想却是简洁、独特而科学的，即使只学过最初等的几何和三角的同学，也能理解和欣赏。
埃拉托色尼知道，在夏至日的正午，垂直树立在昔兰尼（埃及尼罗河畔的一个城市）地上的木棍儿没有影子。实际上，在同一个时刻的同一个地方，人们还发现，深井里的水将阳光垂直反射到向井底张望的眼睛。另一方面，在同一天的正午，人们也看到，亚历山大城的高高石柱却投下了影子，说明那里的太阳光线相对于垂直方向有 1/50 个圆周的倾斜角度。这样，埃拉托色尼就发现昔兰尼在亚历山大的正南方，距离约 5000 个古希腊长度单位（stadia）（图 10 描绘了他的意思）。根据简单比例，我们有
地球的周长 : 5000 = 1 : 1/50
于是，
地球周长 = 250 000 stadia
我们有理由假定一个古希腊长度单位大约等于 1/10 英里。这就是说，地球的周长近似为 25 000 英里。
有意思的是，地球的大小就这么简单而精确地确定下来了，不用望远镜，也不用跋山涉水或漂洋过海。
英文正文
80° Eratosthenes' measurement of the earth. Perhaps the best story that has come down to us about Eratosthenes concerns his determination of the size of the earth. Though there seems to be an element of fortuitousness in Eratosthenes' measurements, the basic idea is simple, ingenious, scientific, and appreciable by students of even the most elementary geometry or trigonometry class.
Eratosthenes learned that at noon, at the summer solstice, a vertical rod held at Syene, a city on the Nile in Egypt, casts no shadow. This fact was confirmed by noting that at that time and place the water in a deep well reflected the sun's rays directly back into the eyes of an observer looking into the well. On the other hand, at noon on the same day, a tall pillar at Alexandria was noted to cast a shadow which showed that the sun's rays there were inclined 1/50 of a complete circle to the vertical. Now Eratosthenes knew that Syene lay directly south of Alexandria, at a distance of 5000 stadia. The situation we have described is pictured in Figure 10. From a simple proportion we then have
circumference of earth : 5000 = 1 : 1/50.
It follows that
circumference of earth = 250,000 stadia.
There is reason to suppose that a stadium had a length of about one tenth of a mile. This leads to 25,000 miles as the approximate circumference of the earth.
It is interesting that the size of the earth was so simply and so accurately determined without the use of a telescope and without traveling any great distance on land or sea.
相关题目
- 题目：
- 提示：
- 解答或证明：
我们可以从故事中思考什么
- 为什么只需要两个地点的日影数据就能估算地球周长？
- 埃拉托色尼的测量结果与现代值 24 900 英里非常接近，他的关键假设有哪些？
- 如果换作今天，你会用哪些方法测量地球的大小？
核心知识点讲解：用比例测量地球周长
选择理由
故事完全围绕埃拉托色尼如何通过两地日影与距离比例求出地球周长展开，比例与角度是贯穿始终的核心数学思想。
概念介绍
地球可近似看作球体。同一时刻，太阳光线近似平行。若两处位于同一子午线上，且其中一处阳光垂直入射，则另一处物体的影长对应的圆心角，即为两地的纬度差。利用比例关系可由两地距离推算地球周长。
具体内容
- 昔兰尼（Syene）阳光垂直：影子为零，对应圆心角 0°。
- 亚历山大（Alexandria）阳光倾斜 1/50 圆周，即圆心角 360°/50 = 7.2°。
- 两地距离约 5000 stadia，对应地球周长的 1/50。
- 地球周长 ≈ 5000 × 50 = 250 000 stadia。
- 按 1 stadium ≈ 1/10 英里，得约 25 000 英里。
应用场景
现代大地测量、GPS 定位、地图投影、卫星轨道计算都依赖对地球大小的精确测量，其基本思想仍是“角度—距离—比例”。
与生活的联系
立竿见影：在同一时刻测量不同地点杆影长度，就能体验古人如何“足不出户”丈量地球。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 比例推理：用局部弧长与圆心角的比例外推整体周长。
- 化曲为直：将球面大圆弧长问题转化为平面角度与距离问题。
延伸讨论
- 若把地球换成更扁的椭球，埃拉托色尼的方法会有多大误差？
- 现代测量地球半径还有哪些方法？（如激光测距、卫星轨道周期等）