内容概述
欧几里得《原本》第五公设——即著名的平行公设——表述复杂，不如其他公设简洁直观。两千多年来，几何学家或试图从其余公设、公理推出它，或寻找更易接受的等价形式。围绕第五公设的持续探讨，推动了现代数学的发展，促使几何学从传统模式中解放出来，催生了多种与欧氏几何同样和谐的非欧几何，也改变了人们对公设本质与数学真理的认识。该公设“科学史上最著名命题”之称来自凯瑟的《数学哲学》。
中文正文
70° 科学史上最著名的一个命题
命题：假如一条直线与两条直线相交，直线同一侧的两个夹角之和小于两直角，则此二直线，假如无限延伸，将在两夹角小于两直角的一侧相交。
这算什么？这是欧几里得《原本》第五公设，即所谓的平行公设。
为什么出名？这个公设不像欧几里得的其他几个公设那么简洁，也不那么一目了然，于是引出许多纷争。两千多年来，学者们一直不满意公设的这样一种陈述方式，几何学家或者尝试从欧几里得的其他公设和公理导出它，或者试图以更能接受的等价的形式来取代它。对第五公设的关心，刺激了许多现代数学的发展，也激发人们深入探询几何学的哲学和逻辑基础。更重要的是，它将几何从传统模式解放出来，产生出后来的许多不同于欧几里得的同样和谐的几何学。实际上，它也给整个数学带来了自由的气息。它沉重打击了数学的绝对真理的观点，革新了对公设本质的认识。数学的出现，是人类思想的自由创造，而不是我们生活的世界派给我们的什么必然产物。
谁给它命名的？凯瑟（Cassius J. Keyser），见他的《数学哲学》（Mathematical Philosophy, New York: E. P. Dutton and Company, Inc., 1922. p. 113.）
英文正文
70° The most famous single utterance in the history of science. The utterance: If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side together less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the angles are together less than two right angles.
What is it? It is the fifth, or so-called parallel, postulate of Euclid's Elements.
Why is it famous? The lack of terseness and ready comprehensibility of this postulate, when compared with Euclid's other postulates, proved to be the source of much controversy. The dissatisfaction of mathematical scholars with its statement as a postulate is indicated by the fact that many geometers attempted over a period of some twenty centuries either to derive it from Euclid's other postulates and axioms or to replace it by a more acceptable equivalent. This concern over Euclid's fifth postulate furnished the stimulus for the development of a great deal of modern mathematics, and also led to deep and revealing inquiries into the logical and philosophical foundations of the subject. In particular, it led to the liberation of geometry from its traditional mold and to the subsequent creation of many other equally consistent geometries different from that of Euclid. Indeed, it had a similar liberating effect on mathematics as a whole. It dealt a severe blow to the absolute truth viewpoint of mathematics and brought forth a new view of the nature of a postulate. Mathematics emerged as an arbitrary creation of the human mind, not as something essentially dictated to us of necessity by the world in which we live.
Who named it so? Cassius J. Keyser, in his Mathematical Philosophy (New York: E. P. Dutton and Company, Inc., 1922), p. 113.
相关题目
- 题目：
- 提示：
- 解答或证明：
我们可以从故事中思考什么
- 为什么第五公设比其他公设更引人注目？它的表述有何特别之处？
- 尝试证明第五公设的努力最终带来了哪些意想不到的数学成果？
- 平行公设的历史如何改变了人们对“数学真理”的看法？
核心知识点讲解：平行公设
选择理由
故事整篇围绕第五公设的表述、历史争议及其深远影响展开，平行公设是最能代表本故事内核的知识点。
概念介绍
平行公设是欧几里得《原本》中的第五条公设，它给出了一条判定两直线是否相交的条件。由于表述较长、不如其他公设直观，历史上长期成为几何学家试图证明或替换的对象。
具体内容
- 标准表述：若一条直线与两条直线相交，且同侧两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必在该侧相交。
- 等价形式：过直线外一点有且只有一条平行线（普莱费尔公理）等。
- 历史影响：对第五公设的研究最终导致非欧几何的诞生，说明公设的选择可以不同，只要体系内部一致。
应用场景
平行公设是欧氏几何的基石；在广义相对论、宇宙学等需要弯曲空间的领域，则使用非欧几何模型。
与生活的联系
在平坦的桌面或纸张上，欧氏几何成立；但在地球表面（球面几何）或强引力场附近，平行公设不再适用。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 公理化反思：通过质疑一条公设，推动整个几何体系的重建。
- 历史影响分析：理解一个“表述不够优雅”的公设如何引发两千年的数学革命。
延伸讨论
- 非欧几何的两种主要形式：罗巴切夫斯基几何（双曲几何）与黎曼几何（椭圆几何）。
- 公设、公理与定理的区别：公设是无需证明的基本假设，定理是由公设推导出的命题。