内容概述
传说柏拉图出生那年（或前后），雅典发生瘟疫。为求消灾，雅典人派代表到得洛斯岛阿波罗神殿祈求神谕。神谕说须把阿波罗像前的立方体祭坛体积扩大一倍。雅典人把祭坛边长都扩大一倍，结果体积变成原来的 8 倍，瘟疫并未平息。由此引出著名的“倍立方”几何问题：确定立方体的边，使其体积为已知立方体的 2 倍。这个问题被称为“得洛斯人问题”，后来传到柏拉图和几何学家手中，柏拉图学院、欧多克斯、梅内赫莫斯等都曾研究过它。
中文正文
柏拉图出生那年（或那年前后），雅典发生瘟疫，大多数人都死了。也许是灾难的刻骨铭心，才生出一个著名的古希腊数学难题。据说，一个公民代表来到得洛斯岛的阿波罗神殿，祈求逃避瘟疫的良方。神谕阿波罗像前的立方体祭坛须扩大一倍。于是，雅典人奉命把祭坛的边长都扩大一倍，可瘟疫没有平息下来。人们回到神殿，询问失败的原因。神告诉他们，他们没有执行神的命令；他们没把祭坛加倍，却让它成了原先的 8 倍。这就引出一个几何问题：确定立方体的边，使它的体积是原先的 2 倍。问题一直没解决，据说后来传到了柏拉图，他又把问题转给几何学家。就是这个故事流传着倍立方的问题，人们经常称它为得洛斯人（Delian）问题。不论故事的真假如何，问题是实在的，柏拉图学院研究过它，还有归在欧多克斯（Eudoxus）、梅内赫莫斯（Menaechmus）甚至柏拉图本人（可能是误传）名下的一些高等的几何解法。
英文正文
66° The Delian problem. Plato was born in, or close to, the year of the plague that killed a large portion of the population of Athens. The great impression that this catastrophe made may be the origin of a famous mathematical problem of Greek antiquity. There is a report that a delegation was sent to the oracle of Apollo on the island of Delos to inquire how the plague might be averted. The oracle replied that the cubical altar to Apollo must be doubled in size. The Athenians accordingly doubled the dimensions of the altar, but the plague did not subside. Returning to the oracle for an explanation of the failure, the Athenians were informed that they had not carried out the orders; they had not doubled the size of the altar, but had increased it to eight times its original size. Thus arose the geometry problem: to find the edge of a cube whose volume shall be exactly twice the volume of a given cube. The problem remained refractory and in time was reputedly taken to Plato, who submitted it to the geometers. It is this story that has led the problem of duplicating a cube frequently to be referred to as the Delian problem. Whether the story is true or not, the problem was studied in Plato's Academy, and there are higher geometry solutions attributed to Eudoxus, to Menaechmus, and even (though probably erroneously) to Plato himself.
相关题目
- 题目：
- 提示：
- 解答或证明：
我们可以从故事中思考什么
- 为什么把立方体祭坛的边长扩大一倍，体积会变成原来的 8 倍？体积与边长之间是什么关系？
- “倍立方”问题与“化圆为方”“三等分角”并称古希腊三大几何难题，它们为什么不能用尺规作图解决？
- 欧多克斯和梅内赫莫斯给出的“高等几何解法”分别是什么？
核心知识点讲解：立方体体积与倍立方问题
选择理由
故事围绕“把立方体祭坛体积扩大一倍”的传说展开，核心数学问题是立方体体积与边长的关系，以及如何构造出体积为 2 倍的新立方体。
概念介绍
立方体的体积等于边长的立方，即 V = a³。若新立方体体积是原立方体的 2 倍，则新边长 a' 满足 a'³ = 2a³，即 a' = ³√2 · a。
具体内容
- 雅典人把边长加倍，新体积为 (2a)³ = 8a³，变成原来的 8 倍，而非 2 倍。
- 真正的倍立方要求 a' = ³√2 · a，等价于构造长度为 ³√2 的线段。
- 用尺规作图无法作出 ³√2，因此倍立方问题在尺规限制下不可解。
- 欧多克斯和梅内赫莫斯等人用圆锥曲线等“高等几何”方法绕过了尺规限制。
应用场景
倍立方问题推动了古希腊对比例、圆锥曲线和不可公度量的研究，是代数学和几何学发展的重要动力。
与生活的联系
日常中常说“把尺寸放大一倍”，常被误以为是面积、体积也放大一倍；实际上面积放大 4 倍、体积放大 8 倍，这与故事中的祭坛错误相同。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 量纲分析：从边长到面积再到体积的缩放规律（1 维→2 维→3 维分别放大 k、k²、k³ 倍）。
- 构造性证明与不可能性：区分“问题是否有解”与“在某种工具限制下是否可解”。
延伸讨论
- 尺规作图不可能性的代数基础：³√2 不是有理数，且不能通过有限次加、减、乘、除和开平方得到。