内容概述
故事列举了关于正多面体的 8 个思考题：(1) 正多面体定义中的三个性质——正多边形面、全等的面、全等的多面角——各自必需；(2) 由这三条可推出多面角正则，因此定义可简化为两条；(3) 内接同一球的正十二面体与正二十面体，反而是正十二面体体积更大，立方体也比正八面体体积大；(4) 内接同一球的正十二面体与正二十面体有共同的内接球，立方体与正八面体亦然；(5) 对给定表面积，正八面体体积是否最小、正二十面体是否最大；(6) 内接同一球的正十二面体与正二十面体体积之比，等于同内接球的立方体边长与正二十面体边长之比；(7) 海普希克勒斯指出，内接同一球的正十二面体与正二十面体体积之比等于表面积之比；(8) 它们各面的外接圆相等。
中文正文
65° 柏拉图体的问题
（1）前面关于正多面体的定义，包含 3 个性质：正多边形的面，全等的面，全等的多面角。许多立体几何课本没有列出全部性质。感兴趣的读者也许可以通过几个反例来证明那 3 个条件都是必需的。
（2）根据（1）列举的 3 个性质，我们可以发现多面角都是正的。请读者自己证明这一点，这也就证明 3 个性质可以归结为 2 个：正多边形的面和正多面角。
（3）没经验的人几乎直觉地相信，内接于同一个球的正 12 面体（有 12 个面）与正 20 面体（有 20 个面），正 20 面体的体积更大。请读者证明，事实恰好相反；读者还可以证明，内接于同一个球的立方体（6 个面）和正 8 面体，立方体的体积更大。
（4）有趣的是，内接于同一个球的正 12 面体和正 20 面体有着共同的内接球。请读者证明这一点，并说明它对于内接于同一个球的立方体和正 8 面体也是正确的。
（5）前面说过，开普勒凭直觉假定，对一定的表面积，正 8 面体包容了最小的体积，正 20 面体包容了最大的体积，真是这样吗？
（6）如果正 12 面体、正 20 面体和立方体内接于同一个球，请证明正 12 面体的体积与正 20 面体的体积之比，等于立方体边长与正 20 面体的边长之比。
（7）欧几里得《原本》第 14 卷指出，海普希克勒斯（Hypsicles）发现，如果正 12 面体与正 20 面体内接于同一个球，那么二者的体积之比等于表面积之比。请证明。
（8）证明内接于同一个球的正 12 面体和正 20 面体具有相等的表面的周长。
英文正文
65° Some problems concerning the Platonic solids.
(1) In Item 61°, the definition of regularity of a polyhedron involves three properties: regular faces, congruent faces, congruent polyhedral angles Many textbooks on solid geometry do not give all three of the defining properties. The interested reader may care to show, by counterexamples, that all three properties are necessary.
(2) From the three defining properties listed in (1), one can deduce the regularity of the polyhedral angles. The reader is invited to do this, and then to show that the three defining properties can be replaced by only two: regular faces and regular polyhedral angles.
(3) The uninitiated will almost always intuitively believe that of the regular dodecahedron (a solid having 12 faces) and a regular icosahedron (a solid having 20 faces) inscribed in the same sphere, the icosahedron has the greater volume. The reader is invited to show that the reverse is actually the case, and also to show that of a cube (a solid having 6 faces) and a regular octahedron (a solid having 8 faces) inscribed in the same sphere, the cube has the larger volume.
(4) It is interesting that a regular dodecahedron and a regular icosahedron inscribed in the same sphere have a common inscribed sphere. Prove this, and show that the same is true of a cube and a regular octahedron inscribed in the same sphere.
(5) In Item 62° we noted that Kepler intuitively assumed that, of the five regular solids, for a given surface area the tetrahedron encloses the smallest volume and the icosahedron encloses the largest volume. Is this so?
(6) A regular dodecahedron, a regular icosahedron, and a cube are inscribed in the same sphere. Prove that the volume of the dodecahedron is to the volume of the icosahedron as the length of an edge of the cube is to the length of an edge of the icosahedron.
(7) In the so-called Book XIV of Euclid's Elements, it is pointed out that Hypsicles observed that if a regular dodecahedron and a regular icosahedron are inscribed in the same sphere, then their volumes are in the same ratio as their surface areas. Prove this.
(8) Show that the circumcircles of the faces of the regular dodecahedron and the regular icosahedron inscribed in the same sphere are equal.
相关题目
- 题目：见中文正文与英文正文所列 8 个问题。
- 提示：
- 解答或证明：
我们可以从故事中思考什么
- 为什么正多面体的定义需要三条性质？去掉其中一条会出现什么反例？
- 内接同一球的正十二面体与正二十面体，为什么反而是面数少的正十二面体体积更大？
- 开普勒“对给定表面积，正八面体体积最小、正二十面体体积最大”的直觉是否正确？
核心知识点讲解：正多面体的定义
选择理由
故事以 8 个问题开篇，第一个问题就直指“正多面体定义中三条性质是否都必需”，定义问题是理解全部问题的基础。
概念介绍
正多面体通常定义为：每个面都是全等的正多边形、每个多面角也全等的凸多面体。这三条性质可简化为“正多边形的面 + 全等的多面角”。
具体内容
- 性质 1：每个面都是正多边形；
- 性质 2：所有面全等；
- 性质 3：所有多面角全等。
若只要求“正多边形面 + 全等面”，可构造出顶点排列不同的反例；若只要求“全等面 + 全等多面角”，也可能出现非正多边形的面。因此三者缺一不可（或等价地用“正多边形面 + 全等多面角”两条）。
应用场景
严格的定义是后续体积、表面积、内接外接关系研究的基础；也是计算机图形学、晶体学中判断多面体对称性的依据。
与生活的联系
骰子的每个面全等且每个角相同；不严格的“多面体”玩具可能只有部分面相同，可借此理解定义的必要性。
主要思想方法与延伸讨论
主要思想方法
- 定义的充要性分析：通过反例说明每条定义性质都不可省。
- 类比与比较：用内接同一球时不同正多面体的体积、表面积关系寻找比例规律。
- 对偶性观察：正十二面体与正二十面体、立方体与正八面体之间存在对偶关系，这解释了它们共享内接球等性质。
延伸讨论
- 对偶多面体：正十二面体与正二十面体互为对偶，立方体与正八面体互为对偶，正四面体自对偶。对偶性可以解释故事中的许多共同性质。